האם הישר מאונך למישור? – בגרות קיץ 2022 מועד ב׳וקטורים 572 · שיעור 21
📄 נוסח השאלה
בפירמידה המשולשת ABCD הפאות ABD ו־ACD הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה E היא אמצע המקצוע CD. הנקודה F נמצאת על המקצוע BD ומחלקת אותו ביחס של BF : FD = 1 : 2.
נסמן: AB = u , AC = v , AD = w. נתון: |u| = |v| = |w| = 6 , ∡BAC = 45 מעלות.
א. חשבו את המכפלות הסקלריות שלפניכם: u · v , u · w , v · w. (פתרנו בשיעור 12)
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. (1) הביעו את הווקטורים CD ו־BD באמצעות u , v ו־w (אם יש צורך). (2) הביעו את הווקטורים AE ו־AF באמצעות u , v ו־w (אם יש צורך). (פתרנו בשיעור 7)
ג. לפניכם שלוש טענות (1)–(3). קבעו אילו מן הטענות נכונות ואילו אינן נכונות. נמקו את כל תשובותיכם. (1) CD מאונך ל־AE. (2) CD מאונך ל־AF. (3) CD מאונך למישור EAF.
סעיף ג (1) – האם CD מאונך ל־AE?
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 12 , שיעור 7):
סעיף א – המכפלות הסקלריות: u · v = 18√2 , u · w = 18 , v · w = 18
סעיף ב (1) – CD ו־ BD: CD = w − v , BD = w − u
סעיף ב (2) – AE ו־ AF: AE = 12v + 12w
AF = 23u + 13w
סעיף א – המכפלות הסקלריות: u · v = 18√2 , u · w = 18 , v · w = 18
סעיף ב (1) – CD ו־ BD: CD = w − v , BD = w − u
סעיף ב (2) – AE ו־ AF: AE = 12v + 12w
AF = 23u + 13w
נציב AE = 12v + 12w , CD = w − v (סעיף ב):
AE · CD = 12(v + w) · (w − v)
📐 וקטורים מאונכים
AE · CD = 12(w2 − v2)
נציב w2 = v2 = 62 = 36:
AE · CD = 12(36 − 36) = 0
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
סעיף ג (1) – האם CD מאונך ל־AE? · המשך
AE · CD = 12(36 − 36) = 0
(התיכון לבסיס במשולש שווה צלעות הוא גם גובה.)
✅ פתרון סופי: טענה (1) נכונה
סעיף ג (2) – האם CD מאונך ל־AF?
נציב AF = 23u + 13w , CD = w − v (סעיף ב):
AF · CD = (23u + 13w) · (w − v)
📐 וקטורים מאונכים
AF · CD = 23u·w − 23u·v + 13w2 − 13v·w
נציב u·w = v·w = 18 , u·v = 18√2 , w2 = 36 (סעיף א):
AF · CD = 23 · 18 − 23 · 18√2 + 13 · 36 − 13 · 18
AF · CD = 12 − 12√2 + 12 − 6 = 18 − 12√2 ≈ 1.03 ≠ 0
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
סעיף ג (2) – האם CD מאונך ל־AF? · המשך
AF · CD = 12 − 12√2 + 12 − 6 = 18 − 12√2 ≈ 1.03 ≠ 0
✅ פתרון סופי: טענה (2) אינה נכונה
סעיף ג (3) – האם CD מאונך למישור EAF?
ישר מאונך למישור מאונך לכל ישר במישור. AF נמצא במישור EAF, אבל לפי ג(2) CD לא מאונך ל־AF.
📐 ישר מאונך למישור
✅ פתרון סופי: טענה (3) אינה נכונה
📐 ישר מאונך למישור
ישר המאונך למישור – מאונך לכל ישר שבמישור
📌 סיכום התשובות
סעיף ג
(1) נכונה ; (2) לא ; (3) לא
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא